Modele a volatilité stochastique

Cela est bien sûr problématique; alors que l`une quelconque des mesures sans risque peut théoriquement être utilisée pour le prix d`un dérivé, il est probable que chacun d`eux donnera un prix différent. En théorie, toutefois, une seule de ces mesures sans risque serait compatible avec les prix du marché des options dépendantes de la volatilité (par exemple, les appels européens, ou plus explicitement, les swaps de variance). Par conséquent, nous pourrions ajouter un actif dépendant de la volatilité; [citation nécessaire] en procédant ainsi, nous ajoutons une contrainte supplémentaire, et choisissons donc une seule mesure sans risque qui soit compatible avec le marché. Cette mesure peut être utilisée pour la tarification. À partir d`une approche de volatilité constante, supposons que le prix de l`actif sous-jacent de la dérivée suive un modèle standard pour le mouvement géométrique brownien: le modèle d`Hétérokedasticité conditionnelle autorégressive généralisée (GARCH) est un autre modèle populaire pour estimer la volatilité stochastique. Il suppose que le caractère aléatoire du processus de variance varie selon la variance, par opposition à la racine carrée de la variance comme dans le modèle Heston. Le modèle standard GARCH (1, 1) a la forme suivante pour le différentiel de variance: les modèles de volatilité stochastique donnent une dynamique plus réaliste du sourire de volatilité. Cependant, ils viennent avec leurs problèmes/défis. Le modèle CEV décrit la relation entre la volatilité et le prix, introduisant une volatilité stochastique: les valeurs initiales F 0 {displaystyle f_ {0}} et σ 0 {displaystyle sigma _ {0}} sont le prix à terme actuel et la volatilité, alors que W t {displaystyle w_ {t}} et Z t {displaystyle z_ {t}} sont deux processus Wiener corrélés (c.-à-d.

mouvements brownien) avec un coefficient de corrélation − 1 < ρ < 1 {displaystyle-1 < rho < 1}. Les paramètres constants β, α {displaystyle beta, ; alpha} sont tels que 0 ≤ β ≤ 1, α ≥ 0 {displaystyle 0 Leq beta leq 1, ; alpha geq 0}. L`estimateur de vraisemblance maximal pour estimer la volatilité constante σ {displaystyle sigma ,} pour les cours boursiers donnés S t {displaystyle s_ {t} ,} à différents moments t i {displaystyle t_ {i} ,} est une extension significative du modèle Heston pour rendre la volatilité et le stochastique moyen est donné par Lin Chen (1996). [citation nécessaire] Dans le modèle Chen, la dynamique du taux d`intérêt instantané est spécifiée par la caractéristique principale du modèle SABR est de pouvoir reproduire l`effet de sourire du sourire de volatilité. Ici le "prix" se rapporte à celui des options de vanille. Sous le modèle Heston, ce prix est donné analytiquement, mais l`expression est trop compliquée. Ceci inhibe la dérivation du gradient de la fonction objective par rapport aux paramètres Heston. La forme analytique du gradient n`a pas été disponible depuis longtemps et, par conséquent, l`étalonnage a été un problème difficile dans les bureaux de négociation. Les praticiens l`ont donc souvent traité à l`aide d`un dégradé numérique, du solveur intégré Excel ou d`optimiseurs stochastiques. Ces méthodes sont trop lentes ou instables, car de nombreux auteurs ont rapporté que leurs résultats variaient en grande partie avec la supposition initiale. En outre, les praticiens ont appliqué de nombreuses règles heuristiques ou asymptotiques pour faire face aux 5 paramètres. Par exemple, ils peuvent être plus difficiles à calibrer que les modèles de vol locaux.

En outre, ils peuvent parfois ne pas exposer assez de sourire pour les options avec des échéances courtes. Pour surmonter cette deuxième question, les modèles de volatilité stochastique sont soit: où un modèle Black-Scholes (pas de sourire) ne sera pas en mesure de faire correspondre les options implicites volatilités à toutes les grèves (sourire).

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